因式分解的迷惑
高中學因式分解的時候，在王思文數學自修上，因式分解這一章末了空白的地方，他老兄好玩的加了這一個<1等於2>的證明題。
我看很多格友都是陪小朋友念書的多，尤其是小頑子之流的數理強手，想必因式分解是了然於心了，那麼這篇文章就讀來得心應手了。
《1 等於 2 》
證明 １＝２
If x = y 則 x – y = 0
∴ 2x – 2 y =0 so 2x – 2y = x – y
∴ 2(x – y) = x – y
二邊各除以(x – y )
﹥2 = 1
《2 等於３》
證明 ２=3
4-10 = 9- 15
兩邊各加上 25/4
＞ 4-10 +25/4 = 9 – 15 + 25/4 ∵ ( a – b ) 平方= a平方 – 2ab + b 平方∵
＞ ∴ (2-5/2) 平方 = ( 3–5/2)平方
兩邊開根號
＞2-5/2 = 3-5/2
∴ 3 = 2
還可以再證明 ３＝４，接續下去。
看出問題出在哪兒了嗎？？
第一項很容易看明白，第二項也很簡單：開根號得出來的不能是負數。
例如：４開根號，有二個根，－２和＋２。
但－２是根和零做分母一樣是沒有意義的運算。所以２才是４開平方的根。
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糟了糟了, 我看不懂. 以後怎麼教我女兒ㄋ?
[版主回覆08/04/2009 16:47:41]看來我要為妳再開一個專欄，專教國中數學。
"三尺線，一丈布，東家做驢，西家做馬"是禪宗的公案，要人隨遇而安。
二個數學式是考觀念。
1＝2是考數學那裡出了問題，考學生觀念的。
盡力而為就好了，不要想太多。。
x-y 是未知數怎可這樣就拿來兩邊都除呢, 用省略法去除呢? 對吧
所以這樣稿下來當然1=2
地=題有點難 還沒算醒有分數就算不清
稍後再來
[版主回覆08/05/2009 10:00:05]果然是國中資優生，差點道破。
x-y=0 所以不可以做除數，任何數除以零都是無意義的。
第二題出在開根號上，先不道破，大家好想想。。。
第二題, 2 - 5/2 等於負數, 若平方後再開根號應該變成正數了.
[版主回覆08/05/2009 16:56:11]大鼓觀念很正確！！大哥常算數學，而我相信數學高手我妳可能放下許久了，沒想到妳還記得很多。
這二個式子，說白了就是要學生搞清楚二樣觀念，不過夾著因式分解來混淆。
早上就看見被點名挑釁了,天哥丟下了餌,我不敢莽撞的上勾,悄悄抄了題目叫我的軍師解答.
剛從醫院奔回家要來踢館,沒想到解答已經出來了.
我家軍師的答案是:
(1)x-y=0, 兩邊各除(x-y)看來合理,實際是分母為零無意義,故2=1成立.
(2)他說關鍵應該在開根號,開根號的結果可能為正或負.不過他沒有肯定的答案
我拿計算機算了一下:
開根號前的算式: (2-5/2)^2=0.25 (3-5/2)^2=0.25
但是題目中開根號後的算式: (2-5/2)=-0.5 (3-5/2)=0.5
等號兩邊並不相等, 自然2=3不成立囉!
我投機的解答,不知道能拿幾分呢?
[版主回覆08/05/2009 21:18:09]關鍵在於那二個數都是負數，而負數是不能開根號的，就像０不能當分母是一樣的意思。。
大哥說妳是強手，妳就是強手，不必懷疑了。
更正:
(1)x-y=0, 兩邊各除(x-y)看來合理,實際是分母為零無意義,故2=1不成立.
[版主回覆08/05/2009 21:18:29]答對了！！我把天哥的題目拿去醫院陪斌斌,他對數學的興趣比英文高得多了.
我告訴他,我被天哥點名是數理一流的人物,所以不能漏氣,要拿著解答來踢館.
他聽了覺得很好笑,我是家裡找不到人教數學時,才勉強看能否瞎貓碰上死老鼠之流的人.怎麼在別人眼中,成了數理高手了?
他一定覺得我騙很大,騙倒一群不了解我的格友.
[版主回覆08/05/2009 21:19:25]不會騙很大，妳有幾斤幾兩，我掐指一算就知道了。天哥,有個地方不理解.
負數不能開根號, 但是題目裡開根號前的數字(即平方後)並不是負數, 應該跟虛數無關呀!
開根號前(即平方後)為0.25, 開根號後可能為 0.5, 可能為-0.5, 在這裡才會有負數出現, 卻是在開根號後呢!
請天哥解惑(我這樣根本就是來踢館了,萬一踢錯了別給我白眼).
俗仔頑 留
[版主回覆08/05/2009 22:48:58]頑子：因為平方裡面的數是負數，這是在它成為平方之前就是負數了，只是用因式分解迷惑了大家。
也就是說，數字本身已經是負數了，但經由式子變化看起來好像不是負數，它成為平方其實就已經不對了，因為如果直接先算出數字來，就不能平方了。 障眼法。。
媽呀~緊酸~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ [版主回覆08/06/2009 03:02:18]酸去哪裡～～
小丸子跟數學不熟啦.gif)
[版主回覆08/07/2009 08:35:10]
小丸子: 莫非妳和我家阿彩一樣？
不過後來阿彩在美國念大學時，統計學還都是Ａ＋。。
數學不熟有啥闗係，別再哭了。
天哥,我又來了
陶淵明說他好讀書不求甚解,我呢,卻非打破砂鍋不可(就是這樣討人厭).
把軍師先生抓到電腦前讓他看你的回應,他說他也不知道問題出在哪.
不死心的又上知識+找答案,終於讓我找到關鍵"虛數"而我又不理解你回覆的地方了,哈哈哈(雙手叉腰,兩腳站與肩同寬,仰天長笑中~
)
我找到一個解釋虛數的說法, 用(2-5/2)^2來說明(a^2)-2ab+(b^2)
一元二次方程式(把2=x替代掉)表達=>(x^2)-2*1*(5/2)x+(5/2)^2=x^2+(-5x)+(25/4)
解二次方程式的根(公式不會在這裡打), 其中需要開根號的(b^2-4ac)若為負數,所得之解即為虛數
故(-5)^2-4*1*(5/2)^2=10-4*1*(25/4)=10-25=-15
-15開根號的結果為虛數,故x之根應該捨棄=> (2-5/2)根本是個不可用的答案
而非以(2-5/2)^2來解題之.
喔~好累,滑鼠上下動,又要想法子把狡辯合理化,對不對我已經不管了,到此為止吧!
砂鍋都打破了,已經沒得破了.
[版主回覆08/08/2009 07:36:15]哈哈哈!頑子早:
這表示妳家斌斌沒事了.
其實昨天我問我家高中生, 為什麼4開根號答案只能是2而不是-2.
小子反應還蠻快, 他說如果是-2,那就是根號內是(-2)平方, 就不是有理數了, 所以不能是-2.
妳的回應是對的:(2-5/2)根本是個不可用的答案...
答案就是把它的平方開根號就不對了, 就像1=2中, 二邊各除X-Y, 根本就是唬嚨人的障眼法.
謝謝陶淵明再世旳小頑子.....我就沒說錯, 數理強手就是妳, 這可不是指名挑臖, 乃知人善任也...
君不見
Monitor前催白髮, 朝如青絲暮成雪.
小頑子, 老天天,
共打砂鍋勝對酒, 與爾同銷萬古愁.
看來看去就覺得當初書不好好念
[版主回覆08/11/2009 19:40:30]行行出狀元....
在台灣數學考19分，在美國統計學可以拿Ａ＋
果然證明我是要聽英文講課才會強！
[版主回覆08/12/2009 14:46:25]早知道就要老師用英文教...
大哥你高雄的家還好嗎？！
能不能借你的人氣，請大家伸出援手！感恩！
88水災募款
[版主回覆08/12/2009 14:48:14]高雄尚好,有些小小進水...
災後日以繼夜的不停忙是累壞人的事.
借我的人氣, 當然OK!! 但我人氣so so而已, 不過來的都是不俗之人, 這倒是真的..
大哥好人緣一定不是SO SO而已啦！
相信有大家的幫忙，一定很快能重建家園的！
[版主回覆08/13/2009 17:13:04]誇獎了。
希望災民能快點安頓下來。。